转一篇学数学的经验之谈
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发信站: 北大未名站 (2001年10月05日03:18:27 星期五) , 站内信件
以下是我对另一个帖子的回复，自认为对你的问题也是适合的：
关键当然不是多做题，而是在做题的基础上加深对概念和方法的理解、掌握。
这是高中就应该学会的学习方法，怎么到了大学里还不明白？
实用的办法是：
先看书，然后自己尝试复述书上的说法、证明，卡壳的地方再多看、多体会；
然后才是做题。如果很容易对付的，完成即可；
费了些心思的，就要自己在做完以后再琢磨总结，和别人交流。
建议时常找个师兄交流，可望“一习话胜十年书”。
注意：做题也是必需的。许多人囫囵吞枣地自学过高等数学，
书上的习题好象也会做，实际上还是不懂。
高数必须通过习题来熟悉常见的数量关系和问题，
才能增加感性认识，书上的理论才不会是空对空。
dionysus 的回复似乎缺少针对性，因为 Polya 讲的虽然是普遍的思考方法，
其中的举例却偏于那种技巧性的难题，帮不了高数学习多少忙。
我以前讲过自己学数学的一点心得，本来是给另一个人的建议，转在这里：
数学分析和线性代数的基本思想其实很简单。你可以请学得好的同学给你讲一讲大概，
然后去补。在这里我不可能给你多少切实的帮助。不过有个建议，是我的经验之谈：
学一个概念（定理），要掌握两方面的看法，既要知道定义，又要形成相应的直观。
一方面，给定一个笼统的陈述，你要会用精确的数学语言刻画；另一方面，给定一串
术语，你要做到很快形成一个相应的“图形”。只有形式的和直观的两套语言你都
掌握了，你才是真懂了。（学epsilon-delta语言，学线性空间和矩阵，都要这样
颠来倒去，才会明白。）
至于“数学分析和线性代数的基本思想”，我也在给别人的邮件中列举过，同样转在这里
：
拿我们本科阶段学过的东西来说，就有许多富于思想性的东西，是各门课程
的灵魂，超出于个别的技巧之上。(或者说“在经典的定理、理论中有示范，
同时在各种具体问题和技巧中体现”)。举例如下：
数学分析：
“逼近”(转化)的思想方法----如“化圆为方”，线性近似(直到多元微积分
里面的 Jacobian 和一般的级数展开)，黎曼积分。
进行“局部”分析的 idea ---- 微积分应用于极值、单调性、不等式等等。
“控制”的数量关系----比如高阶无穷小(大)，优超级数，比较判别法。
以上这些东西，在偏工程性的分支学科(如数值分析)里还要反复用到。
至于极限、实数公理体系、初等的欧氏空间拓扑和测度、微分形式和 Stokes 定理，
更是既本质又困难的东西，决不是通常的技巧所能蕴涵的。它们的深远背景和推广，
体现在后继的实变、泛函、微分流形、复变等课程当中。
线性代数：
公理化思想----线性空间、线性相关、内积、度量等等的抽象定义，以及对
其它概念的某些抽象处理。
“化约”的思想----取基底，取标准形，及各种特殊情形的化归技巧
不变量和标准形理论----这不用多说，是这门课的核心和难点。
【 在 gonsbelly (gonsbelly) 的大作中提到: 】
: 各位师兄师姐，我是数学系新生。由于我是高考上的，所以接触高等代数，解析几何..
: 分析，觉得有一点点困难，主要是上课能听懂，下课做题却相对比较困难，简单一点..
: 以，难一些的就有些力不从心了，我想是不是由于学习方法不当或其他原因造成的，..
: 兄师姐指教！特别是数学系的！
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