[材料物理][转贴]物理定律的對稱
【摘要】當你在做一個實驗的時候，你會不會想到；把儀器稍微向旁邊移一下，或是轉個方向去做，是不是會影響到實驗的結果？或者，今天不做，改到下個禮拜去做，所得的結果會不會不同？如果你開始關心到這些問題，你就會發現物理定律有某些特別的性質，就是它的對稱性。對稱是什麼？
平常我們都很欣賞自然界裡各種對稱的東西，像圓圓的中秋月和各種結晶花樣的雪花。大部份的花朵很好看，也是由於形狀近於對稱的緣故。但是這裡要談的並不是這些實物的對稱，而是物理定律的對稱──也許你會奇怪，物理定律是個抽象的東西，怎麼也會對稱呢？那是因為科學家們喜歡用通俗具體的字眼來表示一種類似的概念。他們對於物理定律有一種感覺，就和他們對於一般實物的對稱性那種感覺很相近，所以就把它叫做物理定律的對稱。
對稱是什麼？你看一個人外表上大約是左右對稱的，也就是說，如果你把他左邊的一切東西搬到右邊相對的地方去，把右邊的一切也搬到左邊來，結果他看起來還是跟原來一模一樣。一個正方形對它的中心轉個九十度之後，看起來還是跟原來一樣，所以正方形有旋轉九十度的對稱。德國的數學家Meyl就是這樣定義對稱的：一件事物如果你能對它做些手腳，而做過之後，它看起來還是原先那個樣子的話，則這件事物便有某種對稱。一個物理定律如果是對稱的，就是說我們可以對這個物理定律做些手腳，例如把有關的物理量改變一下，而不會影響它的結果。下面所討論的就是這一類對稱：
平移的對稱
物理定律的對稱中最簡單的一種，便是平移的對稱：如果你把有關的空間遷移一下，物理定律仍然不變。比如你在屋子裡這頭設些儀器做實驗，然後又在那頭設了同樣的儀器做同樣的實驗，如果兩處一切有關的狀況都完全一樣的話，則兩次實驗所得到的結果應該是一樣的。這就是說你搬個地方；物理定律還是不變的。大家都知道牛頓萬有引力：兩個東西之間的萬有引力與有距離的平方成反比。現在有兩個東西互相吸引，比如說地球和太陽，大家都很熟悉地球繞著太陽所走的軌道是什麼樣子。如果我們把這兩樣東西平移一下，就好比在黑板上劃兩點，再把整個黑板抬到一邊去一般，這兩點之間的距離是不會改變的，所以兩者之間的引力也沒有改變，因此地球繞著太陽所走的軌道，還是照著原來沒有移過去之前那個老樣子。所以萬有引力定律具有平移的對稱。據今所知，一切物理定律都有平移的對稱。
再看一個例子：考慮一個掛鐘的走動。如果你把掛鐘向右邊移兩萬公里，這個掛鐘就走得不對勁了，因為鐘擺的快慢是和地心吸力有關的，你向右邊移兩萬公里之後，地心吸力的大小變了，鐘的快慢也會改變──那樣平移的對稱豈不是被破壞了？還沒有。這時你必須假想把掛鐘連同地球向右移兩萬公里，那麼掛鐘就走得跟原先一樣了。所以論到平移的對稱，我們一定要把一切有關的東西一起搬過去才算，只要沒有遺漏，則搬過去之後的物理現象一定會和原來的一樣。這就是物理定律的平移對稱。
延期的對稱
物理定律的第二種對稱是當你把有關的時間平移一下，也就是提早或延期時，物理定律不變。下面把它叫做延期的對稱。物理定律經過延期是不會改變的，比如我們讓地球開始繞太陽走，（假設太陽固定不動）在某個固定的地方地球以某個初速度前進，於是地球就走起來了，有一定的軌跡。如果兩個鐘頭或兩年之後我們可以重新再來一次，也就是把地球抓起來，讓它照頭一次的樣子開始，還是在起先那個地方給它那個初速度去前進，則地球一定照著從前那個軌跡走起來。這就是萬有引力定律的延期對稱。
談到延期的對稱，卻要注意到一個問題。現在大家都公認的物理定律的確都具有延期的對稱，然而從天文的觀測我們發現：宇宙好像有一個確定的開端，而且是在繼續膨脹之中，也就是所有的東西漸漸向外飛出去，互相之間的距離越來越遠。這樣一來這個世界是不能有延期的對稱的，因為要是有人在地球上睡了幾億年之後醒來，不知道是什麼時刻的話，只要量一下自己到各星雲（Galaxy）的平均距離，就可以算出是什麼時刻。也就是說，這個世界一延期就不會是跟原先完全一樣的。怎樣來解決這個麻煩呢？現在一般人的看法是：當我們談到物理定律時不必去管宇宙到底是如何開始的，事實上對於這個問題至今大家都瞭解得很少。所謂的物理定律只管：你在某種已知的情況下開始後，東西應該怎麼動，怎麼變。至於宇宙的起源及演變，那是另外一個問題。所以我們不管宇宙怎樣起始，只管我們現在所知的那些物理定律，則延期的對稱都是成立的。
旋轉的對稱
第三種對稱是：把有關的空間轉個角度之後，物理定律不改變。如果你拿個儀器在某處做個實驗，然後在另一處把同樣的那套儀器全部轉個角度去做實驗，兩次的結果會是一樣的。當然你一定要把一切有關的東西全都跟著轉過去。比如你有個掛鐘，走得很好。把它拿起來繞著水平的軸轉個九十度，也就是把它放成水平，鐘擺就睡在底面的箱子上去了，不動了──那不是破壞了旋轉的對稱嗎？還沒有。你還要把地球也跟著轉九十度過去，（見圖一）那時鐘就會走得跟從前一樣了。
均勻移動的對稱
當你隨著一個物理系統（例如太空船或火車）沿著一條直線做等速運動時，你在這系統中所發見的物理定律就跟整個系統在靜止時所發見的物理定律完全一樣。這也就是所謂相對性原理（Principle of Relativity）以下把這種對稱叫做均勻移動的對稱。假設有個太空船，裡面有些設備，有個傢伙在上面做實驗。我們在地面上也有完全相同的一些設備，我們也做同一個實驗。如果那個太空船是在做直線等速運動，而我們在地上是靜止不動的話，則那個人在太空船裡所觀察到的結果和我們在地上所看到的結果是一樣的。也就是說，如果他不看船外的話，僅僅由船內所發生的任何現象，他並不能用來判斷他的太空船是靜止不動的，或是在作直線等速運動。在此要注意的是所謂物理定律不變，是說他在船裡看到的現象和我們在地上看到的現象一樣，當然這和我們在地上所見到的太空船裡的現象或是他在船上所見到的地方的現象並不相同的。
牛頓最先得知這個原理。他說我們不能從地球繞著太陽運動的情形來判斷整個太陽系是靜止不動的還是在做直線等速漂流。後來馬克斯威爾發現了電磁定律，其中一個結論是：有一種電磁波存在，它的速度是每秒3×108公尺，這說明了光是電磁波的一種。那你就想了，我們不是可以用光來判別一件東西是靜止或在作等速運動嗎？譬如，假設你坐在一個太空船內以每秒2 ×108公尺的速度相對於在地上靜止不動的我前進，然後我沿著太空船的運動方向射出一束光線，這束光線恰巧可以穿過太空船的頭尾兩個小洞（如圖二）因為我發出的光線每秒走3 ×108公尺，你的太空船每秒走2×108公尺，所以你在太空船裡應該看到光是以每秒1×108公尺的速度經過你的身邊的。然而怪的是，事實並非如此。如果你真的去做這個實驗，你會發現你在太空船裡看到的光速也是每秒3 ×108公尺，跟我在地面所測到的光速一樣。這似乎與我們的常識完全不合，但是實驗的結果正是如此，所以我們不能不接受。現在的問題就是要怎樣來解釋這種怪事。愛因斯坦和法國的數學家潘卡瑞（Poincare）認為要解釋這種怪現象只有讓地上的人和太空船上的人各有各的時間和空間的標準。他們的理論說，在行進中的太空船上的鐘走得比在地上時慢──然而你在船裡並不能知道鐘慢下來，因為你的生理也跟著慢下來，你的感覺也跟著慢下來，就和你在地上時的感覺跟本一樣。事實上他在船上看下來，我們地上的鐘走得也比他的鐘慢呢！
愛因斯坦把時間和空間的意義澈底研究了一番，便發現我們過去對於時間的觀念並不正確──過去我們一直以為時間是絕對的，如果我看到兩件事情在不同的地點同時發生，我相信其他任何人也一定認為那兩件事是同時發生的，不論這個人對我而言是靜止的或是在運動之中。但是愛因斯坦指出這是不對的。他說時間和空間都是相對的，也就是說，我們地上的人有我們的一套時間和空間，太空船上的人也有他們自己的一套時間和空間。〔當然兩套之間還是有一定的關係存在，就是所謂的勞倫茲變換（Lorentz transformation），並不是任意的。〕光速在地上是每秒3 ×108公尺，這個秒是地上的秒，這個公尺是地上的公尺。光速在太空船內也是每秒3 ×108公尺，但這次的秒是太空船的秒，這次的公尺是太空船的公尺，和地上的秒或公尺都不相同。光速不論在地上或是在太空船上都是3 ×108公尺每秒，這就是表現出電磁定律具均勻運動的對稱。這個對稱的意義是很深遠的，它使得整個物理學的度量觀念為之革新，而且產生了許多意想不到的結果。這個對稱的研究是近代物理最大的成績之一。
有些對稱是不成立的！
說了這麼多種對稱，也許有人會覺得物理定律隨你怎麼弄大概都是不變的吧？那不見得。舉例來說，放大的對稱不成立，也就是說，如果你把一個東西的尺寸放大或縮小，一些有關的物理定律是會改變的。伽利略是首先發現放大對稱不成立的人。他曾討論動物骨骼的支持力，他說如果你造了一個動物是原來的兩倍大──也就是兩倍高，兩倍長，兩倍厚而密度仍然不變──則它的體重會變成八倍重。所以它的骨頭一定也要變到有八倍強的耐力才能配合。但是骨頭的耐力卻要看它的截面多粗來決定的，現在你把它造成兩倍大，骨頭的截面便有四倍粗，所以耐力只有四倍強，並不足以支持八倍的體重，這個兩倍大的動物就站不起來了。比較仔細的人會問：你還沒有把地球也隨著放大兩倍呢？好吧！就把地球放大兩倍。結果地球質量變為八倍大，直徑變為兩倍大。因為重力與地球質量成正比，與和地心的距離平方成反比，重力就變為原先的兩倍。這就更糟了。
另外一種不存在的對稱，是當你把物理系統做均勻轉動的話，這個系統中的物理定律和它在靜止時是不同的。例如太空船在太空中做均勻自轉的時候，船裡的人不用向外面看也能知道太空船正在自轉，因為他會有頭暈，想吐的感覺，或是看到船裡的小東西被拋向牆壁上去。這些現象在他們靜止的時候並不會發生的，所以他們知道太空船在轉。我們在地球上不用看地球以外的星也能知道地球是自轉之中，佛科擺就是用來證明地球自轉的。在台北市南海路的科學館內就掛著一個很大的佛科擺，上面便有詳細的說明。
還有一個很重要的對稱，也是不成立的，但並不像前面那兩種不成立的對稱那樣容易一眼看穿的，就是空間反射的對稱，通常也叫左右對稱。我們的問題是：把有關的空間反射之後，物理定律會不會變？也就是問：鏡子裡所看到的現象能不能在真正的世界裡實現出來？如果你把日常生活所見到的一些物理現象拿來考察一下，你會發現沒有一個例子是違反「物理定律」的左右對稱性的。事實上從前的人就相信所有的物理定律都具有左右對稱，直到一九五七年李政道和楊振寧為了要解釋幾個矛盾的現象，就倡議在物理定律中左右對稱可能是不成立的。後來再經過吳健雄等的實驗證實，才確立出來物理定律並不完全是左右對稱的。這個研究對於近代物理的推進十分重要，以後還有專文討論。
倒演的對稱？
最後還有一個很重要的對稱，叫做倒演的對稱。把過去和將來互換，物理定律會不會變？也就是問：我們平日所看到的現象可不可以倒過來發生（也就是倒演）？有人說，很明顯的當然不可以。譬如你曾看見過茶杯從手中掉到地上打碎了，但你從來不曾見過地上的碎玻璃片自動聚結起來成為一個完整的茶杯再飛上你的手中！這似乎是十分理直氣壯的，然而事實並不是這麼簡單的。也許你不會相信，但是物理學家卻告訴我們玻璃杯打碎是可以倒演的，只是倒演發生的或然率很低很低，差不多是零而已。倒演很不容易出現，是由於整個過程所涉及的分子數目太大的緣故，（像剛才的例子包括了茶杯的一切分子，附近空氣中的分子，地面的分子等等。）而且這個數目越大，倒演發生的或然率也就越小，往往小到譬如一百億年才會發生一次那樣，所以平常你根本就無法看到，但這並不等於說倒演絕對不准發生。如果你不去注意整個現象的進行，而只專心觀察其中某一顆分子的運動情況，你會發現讓它倒演也能完全符合物理定律的要求。
換個例子說，你拿一塊小東西，把裡面各個分子的活動情況放大仔細來看，那個分子如何跑來跑去，撞到了誰，跳到那個方向去，把它們的活動經過清清楚楚地拍下電影來。你把這個影片倒過來放映，也就是從尾到頭放映，請一個物理教授來看，則他並不會發覺那是倒放，因為他所看到的分子運動情況也都是合理的，完全遵守物理定律的。這樣看來好像物理定律都具有倒演的對稱。當然這是比較不容易想通的，所以發現得也比較晚。
到一九六四年普林斯頓大學的人做了一個實驗，結果好像顯示有些物理定律是不具有倒演的對稱的。但是他們的結論是間接得來的，而且理由也不明確，我們要等到實驗和理論都有新的進展以後再說。不過目前大部份的人雖然不再堅持倒演的對稱非要成立不可，但也姑且相信有倒演的對稱。
守恒律和對稱的關係
我們都知道能量守恆，動量守恆，角動量守恆等等的守恆律，這些和物理定律具有延期的對稱，平移的對稱、旋轉的對稱等等是密切相關的。甚至電荷量守恆也與電磁場的某種內在對稱有關。如果我們假設一個系統內的物理定律都可以由某種「最小原理」（也叫漢彌爾頓原理）出發來描述的話，則延期的對稱可以導引出能量守恆，平移的對稱可以導引出動量守恆，旋轉的對稱可以導引出角動量守恆……但是這一切都需要假設一個「最小原理」。
最小原理是什麼？舉個例說，光線的前進一定是選擇最短的路徑去走的，所以在真空中光會走直線，由一個平面鏡反射時入射角會等於反射角。像圖三中ACB是光線實際上走的路徑，AOB是其他任何一種不自然的走法，你很容易證明AB＋CB小於AD＋DB。所以光線的前進便是根據一種最小原理。同樣地在牛頓力學中，一個物體在某一個時刻從某一個定點出發，要在一個固定的時間之後到達另一個定點的話，它一定選擇一種走法使這一路上的平均動能減平均位能是儘可能的小。也就是說，要它走了其他任何一種不自然的走法，則在這路上的平均動能減平均位能一定比自然的走法那個值大。這就是牛頓力學中的最小原理。從這個原理開始可以很漂亮地建築出整個牛頓力學，包括推出牛頓的三定律。所以我們可以一開始就假設一個系統內的物理定律都可由最小原理出發來描述，那麼從這些定律之具有延期，平移和旋轉的對稱就可以推論出來這個系統的能量，動量和角動量是守恆的──多麼奇妙的事！這也就是物理學最美的地方之一。（取材自Feynman: The Character of Physical Laws，作者通訊處：耶魯大學物理系）
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